Εμφάνιση αναρτήσεων με ετικέτα μαθηματικά;. Εμφάνιση όλων των αναρτήσεων
Εμφάνιση αναρτήσεων με ετικέτα μαθηματικά;. Εμφάνιση όλων των αναρτήσεων

Πέμπτη, Μαρτίου 01, 2018

Μηχανές υπολογισμού και διερεύνησης μουσικών διαστημάτων

Frequency to Musical Note Converter

Το οφείλουμε στο UNSW, Πανεπιστήμιο του Σίδνεϋ, και ειδικότερα στον Andrew Botros.

Το εργαλείο αυτό βοηθά στο να "μεταφραστεί" μια δεδομένη συχνότητα σε νότα. Πχ βάζοντας στο κουτάκι τον αριθμό 325, ο διερευνητής μας πληροφορεί ότι πρόκειται για το Ε4 (μι της πρώτης γραμμής στο κλειδί του σολ) χαμηλότερο κατά 24 cents (24/100 του ημιτονίου - η οκτάβα διαιρείται σε 1200 cents, 100 για κάθε ένα από τα συγκερασμένα 12 ημιτόνια που την απαρτίζουν). Ο υπολογισμός γίνεται με δεδομένο ότι το A4 (λα του 2ου διαστήματος στο κλειδί του σολ) αντιστοιχεί στη συχνότητα 440Hz.

Είναι ιδιαίτερα χρήσιμο και για τον υπολογισμό ενός διαστήματος εκπεφρασμένου σε μαθηματικό λόγο. πχ το διάστημα του ελάσσονος τόνου, όπως ορίζεται στο ΜΕΓΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΟΝ του Χρυσάνθου: 12/11


  • Μετατρέπουμε με μία απλή διαίρεση τον κλασματικό 12/11 σε δεκαδικό: = 1,090909091
  • Πολλαπλασιάζουμε το 440 που αντιστοιχεί στο A4 με τον δεκαδικό που αντιστοιχεί στο 12/11.
  • Παίρνουμε αποτέλεσμα 480.
  • Εισάγουμε το 480 στον Frequency to Musical Note Converter και μας πληροφορεί ότι αντιστοιχεί σε ένα "Β4 minus 49 cents" δηλαδή σε ένα Σι αμέσως υψηλότερο από το A4 (Λα4) 440Hz χαμηλότερο κατά 49 cents.
Δεδομένου ότι το Σι4 απέχει από το Λα4 κατά 2 ημιτόνια, δηλαδή 200 cents στο συγκερασμένο σύστημα, το διάστημα 12/11 αντιστοιχεί σε
200 - 49 = 151 cents.




Όμως, ένα πολύ καλύτερο εργαλείο για τον υπολογισμό διατημάτων/λόγων και για πολλούς άλλους σχετικούς υπολογισμούς είναι το Interval Conversion. Του βγάζω το καπέλο!!!

Πριν ξεκινήσουμε να δούμε τα πόσα χρήσιμα κάνει για μας, γλιτώνοντας μας πολύ χρόνο, ας πάμε να δούμε ολίγα περί συγκερασμού, και συγκεκριμένα περί ισοσυγκερασμού, όπως παρουσιάζονται στο Interval Conversion. Φυσικά, όσοι γνωρίζουν το θέμα, μπορούν να παρακάμψουν.




Στον πίνακα αυτόν μπορούμε να δούμε τα 12 συγκερασμένα διαστήματα που σχηματίζονται μέσα στην έκταση μιας  οκτάβας, σε αντιστοιχία με τους δεκαδικούς που εκφράζουν το συχνοτικό τους μέγεθος, καθώς και το μέγεθός τους μετρημένο σε cents. Όλα αυτά τα διαστήματα σχηματίζονται με βάση το μικρότερο από αυτά, το συγκερασμένο ημιτόνιο που αντιστοιχεί σε 100 cents. Μην σας φοβίζουν οι όροι, συγκερασμός, συγκερασμένο κλπ, διότι θα τους εξηγήσουμε πιο κάτω. Για την ώρα παρατηρείστε την "παρέλαση" των 12 διαστημάτων.

Δείτε και έναν παραστατικότατο πίνακα με τις νότες πάνω στο πιάνο και τις αντίστοιχες συχνότητές τους στο συγκερασμένο σύστημα:

Η κρίσιμη ερώτηση: Τι εννοεί ο ποιητής;



Απόδοση: Σε μερικούς αρέσει να μας λένε ότι το να αποκαλούμε μια συγκερασμένη 5η "τέλεια"  είναι μια λανθασμένη χρήση τού όρου και ότι τέλεια διαστήματα είναι μόνον αυτά που αποδίδονται με γνήσια κλάσματα (ακεραίων).

Τι συμβαίνει. Τα μουσικά διαστήματα, όπως μας έρχονται από την πυθαγορική παράδοση, αποδίδονται με μαθηματικούς λόγους, ως κλάσματα ακεραίων. Στον πίνακα που ακολουθεί μπορείτε να δείτε τις κλασματικές αποδόσεις των διαστημάτων (στη στήλη Just intonation interval). Τα διαστήματα που εκράζονται με λόγους έχουμε συνηθίσει να τα λέμε φυσικά.
Η οκτάβα πχ αποδίδεται από το κλάσμα 2/1. Αυτό σημαίνει ότι το Ντο5 θα έχει διπλάσια συχνότητα από το Ντο4 που βρίσκεται μια οκτάβα κάτω του. Ο ήχος είναι κύμα, το γνωρίζετε, και κάθε ήχος έχει μία θεμελιώδη συχνότητα που καθορίζεται από την συχνότητα του κυματισμού του, πχ ο ήχος του Λα του 2ου διαστήματος μέσα στο πεντάγραμμο "κυματίζει" 440 φορές μέσα σε ένα δευτερόλεπτο. Το Ντο6 κατά συνέπεια θα έχει 4πλάσια συχνότητα από το Ντο4. Το φυσικό ημιτόνιο εκφράζεται από το κλάσμα 16/15. Μια μείζων "φυσική" κλίμακα απαρτίζεται από τόνο μείζονα 9/8, τόνο ελάσσονα 10/9, φυσικό ημιτόνιο 16/15, τόνο μείζονα 9/8, τόνο μείζονα 9/8, τόνο ελάσονα 10/9 και φυσικό ημιτόνιο 16/15. Όλα αυτά τα 7 κλάσματα, αν πολλαπλασιαστούν μεταξύ τους μας κάνουν 2/1, μια οκτάβα δηλαδή, επειδή η "φαινομενική άθροιση" των διαστημάτων γίνεται με πολλαπλασιασμό των λόγων τους .... σκεφτείτε το, έτσι είναι (θυμηθείτε τις οκτάβες του Ντο, πιο πάνω).
Για δοκιμάστε να πολλαπλασιάσετε μεταξύ τους 12 φυσικά ημιτόνια. 16/15 στην δωδεκάτη δηλαδή. Ή 6 μείζονες τόνους. Ή 6 ελάσσονες. Κανένα από αυτά τα γινόμενα δεν ισούνται με 2/1=2 Αυτό σημαίνει ότι καμία από αυτές τις δομικές υπομονάδες της "φυσικής" κλίμακας δεν μπορεί να γίνει ο αποκλειστικός δομικός λίθος της. Αλλά και από την άλλη πλευρά να το δούμε, είναι αδύνατον η "12ης τάξεως ρίζα του 2" να εκφραστεί με λόγο ακεραίων, εφόσον είναι άρρητος αριθμός. (Γιατί "12ης τάξεως ρίζα του 2"; Μα αυτός είναι ο μόνος αριθμός που αν πολλαπλασιαστεί 12 φορές με τον εαυτό του μας δίνει αποτέλεσμα 2 = 2/1 που εκπροσωπεί την οκτάβα). Ε, και λοιπόν πού είναι το πρόβλημα; Δεν μπορούμε να αρκεστούμε σε "φυσικές" μορφές κλιμάκων, αρμόζοντας 7  λόγους ακεραίων που θα μας δίνουν αποτέλεσμα 2; Ναι, αν τραγουδάμε, ή αν παίζουμε άταστα όργανα, ή και πνευστά ακόμα. "Κουρδίζουμε" με το εκπαιδευμένο αυτί μας. Όμως τι γίνεται με ένα πληκτροφόρο; Ή με ένα όργανο με τάστα;
Αν φτιάξουμε την μείζονα κλίμακα από το πλήκτρο Ντο, τότε η συχνότητα της ΙΙ βαθμίδας της, του Ρε, θα πρέπει να έχει τιμή 9/8 της συχνότητας Ντο, και το Μι (η ΙΙΙ βαθμίδα) 9/8 x 10/9. Αν φτιάξουμε  ίδιας δομής κλίμακα από τη νότα Ρε, τότε το Μι θα πρέπει να έχει συχνότητα 9/8 της συχνότητας του Ρε. Δηλαδή θα πρέπει -μέχρι στιγμής- να έχουμε 2 Μι. Ένα ως σωστή "φυσική" ΙΙΙ βαθμίδα του Ντο, και ένα ως ΙΙ βαθμίδα (πάντα φυσική) του Ρε. Χάος. Δεν αρκούν 12 μόνον πλήκτρα για μία οκτάβα. Θεωρητικά μάλιστα, χρειαζόμαστε άπειρα πλήκτρα, αφού πάντα θα αναφύεται μία καινούργια αφετηρία για να σχηματιστεί πάνω της μία κλίμακα ... σκεφτείτε το. Εδώ, λοιπόν χρειάστηκε ο συγκερασμός. Όλα τα "φυσικά" διαστήματα πλην της 8ας καταργούνται και παραδίδουμε την "οικονομία" των πληκτροφόρων στους άρρητους αριθμούς. Θεωρούμε το ημιτόνιο, ως διάστημα που εκφράζεται από τον άρρητο "12ης τάξεως ρίζα του 2" και όλα τα άλλα διαστήματα ως δυνάμεις αυτού του αριθμού. Αυτός είναι ο συγκερασμός. Και γιατί παρακαλώ να μην θεωρείται "φυσικός". Στη Φύση, τα πάντα λαμβάνουν χώρα ή ερμηνεύονται με λόγους ακεραίων; Και για όσους διαμαρτύρονται, δείτε την σύγκριση τιμών μεταξύ "φυσικών" και "συγκερασμένων" συχνοτήτων. Ανεπαίσθητη διαφορά. Όχι; Συμφωνώ. Κι εγώ ακούω τη διαφορά "φυσικών" και "συγκερασμένων" διαστημάτων. Αλλά, όχι δυσάρεστα, τουλάχιστον όχι προκειμένου για Μπαχ.

Ας θαυμάσουμε τώρα το Interval Conversion:




1. Πρώτος ένας μετατροπέας των cents που εκφράζουν το μέγεθος ενός διαστήματος, σε δεκαδικό που εκφράζει τη συχνοτική διαφορά της κορυφής από τη βάση του. Καθώς και το ανάποδο.






2. Δεύτερος, τι θαύμα; Ένας μετατροπέας που μετατρέπει τη διαφορά δύο συχνοτήτων σε cents. Μπορούμε στη θέση των συχνοτήτων να βάλουμε ακεραίους, που είναι αριθμητής και παρονομαστής ενός λόγου που εκφράζει κάποιο πυθαγόρειας λογικής διάστημα. Καλό ε;


3α. Τρίτος, ένας υπολογιστής που υπολογίζει την τιμή μιας συχνότητας με βάση την απόστασή της κατά έναν αριθμό βασικών υπομονάδων από μία δεδομένη συχνότητα.





3β. Το σαγηνευτικό όμως είναι ότι μπορεί ο αριθμός των υπομονάδων που διαιρούν την οκτάβα να είναι οποιοσδήποτε επιθυμούμε. 72 πχ, που βολεύει και όσους ασχολούνται με την Βυζαντινή Μουσική, ή στα 53 για όσους ασχολούνται και με την Οθωμανική.






4. Και τελευταίο αυτό που κάνει και το Frequency to Musical Note Converter, αλλά το Interval Conversion το κάνει πολύ καλύτερα. Δείτε και θα καταλάβετε:



Ε, τι να κάνουμε.. Οι Γερμανοί έχουν άλλον αέρα.

Πέμπτη, Αυγούστου 18, 2005

ΓΙΑ "ΚΡΑΤΗ ΕΝ ΚΡΑΤΕΙ"..... 5 χρώματα.

Το πρόβλημα του " γιατί στους χάρτες αρκούν το πολύ 4 χρώματα για να παρασταθούν διακριτά τα κράτη", είναι ένα πρόβλημα που απασχόλησε πολλούς μαθηματικούς. Για περισσότερα διαβάστε στο βιβλίο του Marcus du Sautoy "Η μουσική των πρώτων αριθμών", σε μετάφραση Τεύκρου Μιχαηλίδη, εκδόσεις ΤΡΑΥΛΟΣ. Το πρόβλημα το επέλυσαν ηλεκτρονικοί υπολογιστές μετά από 1200 ώρες εργασίας.


Μιαν οπτική εξήγηση μου προσέφερε σήμερα το πρωί ο καθαρός αέρας της Ιωνίας. Την παραθέτω αφαιρετικά. (Δεν είμαι μαθηματικός, είμαι ένα από τα λεγόμενα "ψώνια", και μάλιστα ακατάρτιστος).


Το τρίγωνο είναι το μικρότερο πολύγωνο, ως σχήμα μπορεί να αποδώσει οικονομικότερα την έννοια της «κατοχής χώρου» και κατ’ επέκτασιν την έννοια του κράτους.

1.Ένας χάρτης μιας ηπείρου στη σφαίρα των «Ιδεών»:














2. Ο χάρτης της ίδιας ηπείρου στη σφαίρα της πραγματικότητας:












Η λύση του προβλήματος πόσα χρώματα το πολύ χρειάζονται για να χρωματιστούν διακριτά Ν κράτη ενός χάρτη, ανάγεται στο εξής σχήμα:

σχήμα 3









έτσι εξηγείται γιατί στους χάρτες αρκούν 4 χρώματα για να παρασταθούν διακριτά τα κράτη. Εξαίρεση αποτελεί η περίπτωση όπου το σχήμα 3 περιέχεται εντός ενός άλλου τριγώνου. Τότε έχουμε "κράτη εν κράτει" και χρειαζόμαστε 5 χρώματα.



Το ανωτέρω σχήμα είναι ωραίο και ως σημαία......

Τρίτη, Αυγούστου 09, 2005

ΚΟΣΚΙΝΟ......


Ο κύριος είναι ο Ερατοσθένης. Σπουδαίος μαθηματικός, ως γνωστόν, που μεταξύ άλλων βρήκε και μία μέθοδο να διερευνά πρώτους αριθμούς. Η μέθοδος αυτή ονομάζεται "κόσκινο του Ερατοσθένη", επειδή κοσκινίζει τους αριθμούς και αφήνει να πέσουν κάτω μόνον οι πρώτοι. Δεν θα αναπτύξω εδώ αυτή τη μέθοδο. Όμως παίζοντας με αριθμούς και ψάχνοντας κάτι άλλο, συγκεκριμμένα μια φορμαλιστική κατασκευή μελωδιών ΕΥΡΗΚΑ....

Δεν ξέρω αν βρήκα πράγματι κάτι, αλλά σας στο κοινοποιώ και σίγουρα, όσοι έχετε σχέση με τα μαθηματικά θα καταλάβετε καλύτερα από μένα, τι τέλος πάντων βρήκα. Έχω δε, τον φόβο ή μάλλον την βεβαιότητα ότι κάποιος άλλος το έχει βρει πριν από μένα. Δεν βαριέστε, καλοκαίρι είναι, παίζουμε.

Τοποθετώ τους αριθμούς σε πίνακα 6 στηλών. Παρατηρώ λοιπόν ότι οι πρώτοι αριθμοί βρίσκονται πάντα στην πρώτη ή την πέμπτη στήλη, εξαιρουμένων των του 2 και του 3. Περιορίζομαι μέχρι το 101. Αλλά εσείς προχωρήστε το όσο θέλετε.
(Ένα πίνακα με τους 1000 πρώτους «πρώτους», θα βρείτε στο: http://primes.utm.edu/).

Τι θεωρώ ότι βρήκα: Πιστεύω βρήκα ένα "κόσκινο", μια μέθοδο που βρίσκει πρώτους αριθμούς. Διότι προχωρώντας τη διερεύνηση, οδηγούμαι λογικά, ότι:

στην πρώτη στήλη θα βρίσκονται επίσης ή πολλαπλάσια του 7, ή πολλαπλάσια του 5 ή πολλαπλάσια προηγούμενων πρώτων. Στην στήλη 5 θα βρίσκονται επίσης ή πολλαπλάσια του 5 ή πολλαπλάσια προηγούμενων πρώτων.
Διότι, στις στήλες 2, 4, 6, όλοι οι αριθμοί είναι ζυγοί, στη στήλη 3 όλοι οι αριθμοί είναι πολλαπλάσια του 3.

1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36
37 38 39 40 41 42
43 44 45 46 47 48
49 50 51 52 53 54
55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66
67 68 69 70 71 72
73 74 75 76 77 78
79 80 81 82 83 84
85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96
97 98 99 100 101 102
............................................
............................................

Οπότε, όλοι οι πρώτοι είναι οπωσδήποτε της μορφής (ν * 6) + 1 είτε (ν * 6) + 5, πλην των 1, 2, 3, 5, (χωρίς βέβαια να σημαίνει ότι κάθε αριθμός των παραπάνω μορφών είναι πρώτος).
Πώς σας φαίνεται;

Και τώρα ολίγη «μυστικοπάθεια»: Στην τριάδα των τριών πρώτων αριθμών (1, 2, 3) οι 2 και 3 (όπου 2+3=5) είναι οι μόνοι που δεν βρίσκονται στις στήλες 1 και 5. Σαν να θέλουν να μας πουν κάτι. Και ο 6 (1+5) επίσης κάτι θέλει να μας πει.

οι παχουλές αναρτήσεις (όσο τις διαβάζετε τόσο παχαίνουν)